infoegehelp.ru

Число может оканчиваться на цифру 2 в системе счисления с основанием, начиная от 3-х.

1 способ.

В системе с основанием 3 число содержит максимальное количество цифр. Чтобы узнать данное количество, переведем 23 в эту систему:

23| 3
21  7|3
 2   6  2
      1

Получили число 212. Оно состои из 3-х цифр.

Обозначим основание искомой системы счисления как x, а первую и вторую цифру числа в данной системе как y₁ и y₂. Третья (последняя) цифра задана в условии задачи: она равна 2-м.

23=х²*y₁+x¹*y₂+x⁰*2 =>23=х²*y₁+x*y₂+2 =>23=x(х*y₁+y₂)+2 =>21=x(х*y₁+y₂) =>21\x=(х*y₁+y₂).

Выражение (х*y₁+y₂) не может быть дробным, поэтому 21 должно нацело делится на x, т.е. должно быть кратно x.

21 кратно 3-м, 7-и и 21-у. Поэтому получаем основания в порядке возрастания: 3, 7, 21.

Переведем 23 в системы счисления от 4-й до 11-й. Начиная с 12-й до 23-й системы, число будет равно 1-у, отличаться будет только остаток. Например, в системе с основанием 12 остаток равен 23−12=11, с основанием 13 остаток равен 23−13=10 и т.д., уменьшаясь до нуля.

Он будет равен 2-м в системе с основанием 21, т.к. 23−2=21.

Полностью переводить 23 не будем, т.к. нас интересует только последнее число (первый остаток).

23| 3       23|4      23| 5       23| 6      23| 7     23| 8      23| 9      23|10      23|11
21  7       20  5      20  4       18   3      21  3     16  2       18  2      20   2       22  2
  2            3           3             5            2           7            5            3              1

Получили основания: 3, 7, 21.