Разбор задачи B1 (демо ЕГЭ 2008)
Число может оканчиваться на цифру 2 в системе счисления с основанием, начиная от 3-х.
1 способ.
В системе с основанием 3 число содержит максимальное количество цифр. Чтобы узнать данное количество, переведем 23 в эту систему:
23| 3
21 7|3
2 6 2
1
Получили число 212. Оно состои из 3-х цифр.
Обозначим основание искомой системы счисления как x, а первую и вторую цифру числа в данной системе как y1 и y2. Третья (последняя) цифра задана в условии задачи: она равна 2-м.
23=х2*y1+x1*y2+x0*2 =>23=х2*y1+x*y2+2 =>23=x(х*y1+y2)+2 =>21=x(х*y1+y2) =>21\x=(х*y1+y2).
Выражение (х*y1+y2) не может быть дробным, поэтому 21 должно нацело делится на x, т.е. должно быть кратно x.
21 кратно 3-м, 7-и и 21-у. Поэтому получаем основания в порядке возрастания: 3, 7, 21.
2 способ.
Переведем 23 в системы счисления от 4-й до 11-й. Начиная с 12-й до 23-й системы, число будет равно 1-у, отличаться будет только остаток. Например, в системе с основанием 12 остаток равен 23−12=11, с основанием 13 остаток равен 23−13=10 и т.д., уменьшаясь до нуля.
Он будет равен 2-м в системе с основанием 21, т.к. 23−2=21.
Полностью переводить 23 не будем, т.к. нас интересует только последнее число (первый остаток).
23| 3 23|4 23| 5 23| 6 23| 7 23| 8 23| 9 23|10 23|11
21 7 20 5 20 4 18 3 21 3 16 2 18 2 20 2 22 2
2 3 3 5 2 7 5 3 1
Получили основания: 3, 7, 21.