Разбор задачи B1 (демо ЕГЭ 2007)
Число может оканчиваться на цифру 4 в системе счисления с основанием, начиная от 5-и.
1 способ.
В системе с основанием 5 число содержит максимальное количество цифр. Чтобы узнать данное количество, переведем 22 в эту систему:
22| 5
20 4
2
Получили число 42. Оно состои из 2-х цифр.
Обозначим основание искомой системы счисления как x, а первую цифру числа в данной системе как y. Вторая (последняя) цифра задана в условии задачи: она равна 4-м.
22=x1*y+x0*4 =>22=x*y+4 =>x*y=18.
Определим x и y методом подбора (18 делим на 1, 2 и т.д., пока основание ≥5):
18=18*1,
18=9*2,
18=6*3
2 способ.
Переведем 22 в системы счисления от 5-й до 11-й. Начиная с 12-й до 22-й системы, число будет равно 1-у, отличаться будет только остаток. Например, в системе с основанием 12 остаток равен 22−12=10, с основанием 13 остаток равен 22−13=9 и т.д., уменьшаясь до нуля.
Он будет равен 4-м в системе с основанием 18, т.к. 22−4=18.
22| 5 22| 6 22| 7 22| 8 22| 9 22|10 22|11
20 4 18 3 21 3 16 2 18 2 20 2 22 2
2 4 1 6 4 2 0
Получили основания: 6, 9, 18.