Разбор задачи C4 (демо ЕГЭ 2005)
Введем обозначения:
х - первая куча,
у - вторая куча.
Старт: (х, у).
Варианты хода игроков: (х*3,у), (х,у*3), (х+2,у), (х, у+2).
Игрок выйграет, когда число камней в 2-х кучах станет ≥24 (х+у≥24). Изобразим ход игры в виде дерева решений. Необходимо ветвить дерево до того момента, когда все варианты последнего хода станут выйгрышными.
После первого хода дерево будет выглядеть так:
На дереве изображены все возможные варианты ходов.
После первых 2-х ходов дерево будет выглядеть так:
Одним цветом в строке подчертнуты одинаковые значения количества камней в кучах. По ходу игры будем ветвить только разные координаты.
Когда 2-й игрок совершает 2-й ход, он выигрывает, когда попадает в позиции: (36,3) и (4,27), т.к. сумма х и у в этих случаях больше 24. На рисунке выйгрышные позиции 2-го игрока выделены сплошной рамкой.
Мы не рассматривали остальные позиции (обозначены как "..."), если встречали выйгрышную позицию. Игроки играют безошибочно, поэтому 2-й игрок пойдет только по выйгрышной ветке. Соответственно, нет смысла рассматривать все позиции. Например, из позиции (12,3) 2-й игрок обязательно пойдет в (36,3), а не в (12,9), например.
Смотрим предыдущий ход. Чтобы 2-й игрок не выйграл, 1-й игрок на 1-м ходе не должен идти в позиции (12,3) и (4,9). Он может идти в остальные позиции. Запретные позиции для 1-го игрока перечеркнуты красным:
Рассматривая дальнейшие ходы не будем ветвить позиции, которые идут из позиций (12,3) и (4,9). После 3-х ходов дерево будет выглядеть так:
Когда 1-й игрок совершает 3-й ход, он выигрывает, когда попадает в позиции: (54,3), (18,9), (24,3) и (36,5), (12,15), (4,21) т.к. сумма х и у в этих случаях ≥24. На рисунке выйгрышные позиции 1-го игрока на 3-м ходу выделены сплошной рамкой.
Смотрим предыдущий ход. Чтобы 1-й игрок не выйграл, 2-й игрок на 2-м ходе не должен идти в позиции (18,3), (6,9), (8,3) и (12,5), (4,15), (4,7). Он может идти в остальные позиции. Запретные позиции для 2-го игрока перечеркнуты красным:
Рассматривая дальнейшие ходы не будем ветвить позиции, которые идут из позиций (18,3), (6,9), (8,3) и (12,5), (4,15), (4,7). После 4-х ходов дерево будет выглядеть так:

Из рисунка видно, что любой ход 2-ого игрока на 4-м ходу будет выйгрышным. Поэтому, выигрывает 2-й игрок.
Представим решение также в виде таблицы (выйгрышные ходы выделены розовым):
1 ход | 2 ход | 3 ход | 4 ход | |
---|---|---|---|---|
Старт | 1-й игрок (все ходы) | 2-й игрок (выйгрышный ход) | 1-й игрок (все ходы) | 2-й игрок (выйгрышный ход (один из вариантов)) |
4,3 |
12,3 | 36,3 | - |
- |
4,9 | 4,27 | - | - | |
6,3 |
6,5 |
18,5 |
54,5 | |
6,15 | 18,15 | |||
8,5 | 24,5 | |||
6,7 | 18,7 | |||
4,5 | 6,5 | те же ходы, что описаны выше |
Выигрывает 2-й игрок.
Варианты его первого хода представлены в таблице выше, в столбце, выделенном розовым. Если 1-й игрок 1-м ходом утраивает число камней в 1-й или 2-й куче, то 2-й игрок выигрывает своим 1-м ходом, попадая в позиции: (36,3) и (4,27). При остальных ходах 1-го игрока 2-й игрок выигрывает своим 2-м ходом.