Разбор задачи C3 (демо ЕГЭ 2008)

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежат две кучки камней, в первой из которых 1, а во второй – 2 камня. У каждого игрока неограниченно много камней. Игроки ходят по очереди. Ход состоит в том, что игрок или увеличивает в 3 раза число камней в какой-то куче, или добавляет 2 камня в какую-то кучу. Выигрывает игрок, после хода которого общее число камней в двух кучах становится не менее 17 камней. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков – игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Решение:

Введем обозначения:

х - первая куча,

у - вторая куча.

Старт: (х, у).

Варианты хода игроков: (х*3,у), (х,у*3), (х+2,у), (х, у+2).

Игрок выйграет, когда число камней в 2-х кучах станет ≥17 (х+у≥17). Изобразим ход игры в виде дерева решений. Необходимо ветвить дерево до того момента, когда все варианты последнего хода станут выйгрышными.

После первого хода дерево будет выглядеть так:

Задача С3 ЕГЭ по информатике 2008 первый ход

На дереве изображены все возможные варианты ходов. Одним цветом в строке подчертнуты одинаковые значения количества камней в кучах. По ходу игры будем ветвить только разные координаты.

После первых 2-х ходов дерево будет выглядеть так:

Задача С3 ЕГЭ по информатике 2008 второй ход

Когда 2-й игрок совершает 2-й ход, он выигрывает, когда попадает в позицию: 1,18, т.к. сумма х и у в этих случаях больше 17. На рисунке выйгрышная позиция 2-го игрока выделена сплошной рамкой.

Мы не рассматривали остальные позиции (обозначены как "..."), если встречали выйгрышную позицию. Игроки играют безошибочно, поэтому 1-й игрок пойдет только по выйгрышной ветке. Соответственно, нет смысла рассматривать все позиции. Например, из позиции (1,6) 1-й игрок обязательно пойдет в (1,18), а не в (3,6), например.

Смотрим предыдущий ход. Чтобы 2-й игрок не выйграл, 1-й игрок на 1-м ходе не должен идти в позицию 1,6. Он может идти в остальные позиции. Запретная позиция для 1-го игрока перечеркнута красным:

Задача С3 ЕГЭ по информатике 2008 запретная позиция 1-го игрока

Рассматривая дальнейшие ходы не будем ветвить позиции, которые идут из позиции (1,6). После 3-х ходов дерево будет выглядеть так:

Задача С3 ЕГЭ по информатике 2008 третий ход

Когда 1-й игрок совершает 3-й ход, он выигрывает, когда попадает в позиции: (27,2), (3,18), (15,2), (1,36), и В=(1,18), т.к. сумма х и у в этих случаях ≥17. На рисунке выйгрышные позиции 1-го игрока на 3-м ходу выделены сплошной рамкой и одна позиция буквой "В" (позиция (1,6) уже встречалась выше на 1-м ходу, поэтому мы ее не ветвили).

Смотрим предыдущий ход. Чтобы 1-й игрок не выйграл, 2-й игрок на 2-м ходе не должен идти в позиции (9,2), (3,6), (5,2), (1,12) и (1,6). Он может идти в остальные позиции. Запретные позиции для 2-го игрока перечеркнуты красным:

Задача С3 ЕГЭ по информатике 2008 запретные позиции 2-го игрока

Рассматривая дальнейшие ходы не будем ветвить позиции, которые идут из позиций (9,2), (3,6), (5,2), (1,12) и (1,6). После 4-х ходов дерево будет выглядеть так:

Задача С3 ЕГЭ по информатике 2008 четвертый ход

Из рисунка видно, что любой ход 2-ого игрока на 4-м ходу будет выйгрышным. Поэтому, выигрывает 2-й игрок.

Представим решение также в виде таблицы (выйгрышные ходы выделены розовым):

	1 ход	2 ход	3 ход	4 ход
Старт	1-й игрок (все ходы)	2-й игрок (выйгрышный ход)	1-й игрок (все ходы)	2-й игрок (выйгрышный ход (один из вариантов))
1,2	3,2	3,4	9,4	27,4
			3,12	9,12
			5,4	15,4
			3,6	3,18
	1,6	1,18	-	-


	1,4	3,4	те же ходы, что описаны выше

Выигрывает 2-й игрок.
Варианты его первого хода представлены в таблице выше, в столбце, выделенном розовым. Если 1-й игрок 1-м ходом утраивает число камней во 2-й куче, попадая в позицию (1,6), то 2-й игрок выигрывает своим 1-м ходом. При остальных ходах 1-го игрока 2-й игрок выигрывает своим 2-м ходом.

Перейти к другим задачам.

infoegehelp.ru

Разбор задачи C3 (демо ЕГЭ 2008)