infoegehelp.ru

Успешно сдать ЕГЭ по информатике
  • Главная
  • Контакты
  • Карта сайта
  • Помощь сайту
Важно
  • Демо варианты ЕГЭ
  • Учим числа: 2 в степени
  • Биты, байты, килобайты
Решение задач
  • Задачи вне основных разделов информатики
Разделы информатики
  • 2011-12-18-14-33-54Системы счисления
  • 2011-12-18-16-45-20Алгебра логики
  • 2011-12-18-16-55-26Программирование
  • 2011-12-18-16-53-40Кодирование информации
  • 2011-12-18-16-56-19Компьютерные сети и Интернет
  • -excelЭлектронные таблицы (Excel)
  • 2011-12-18-16-57-50Базы данных
  • 2011-12-18-16-58-50Графы
  • 2011-12-18-17-00-15Файловая система
  • Устройство компьютера
  • ПО компьютера
Алгебра логики Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Как решать задачи с помощью диаграмм Эйлера-Венна

Некоторые задачи удобно и наглядно решать с помощью диаграмм Эйлера-Венна. Например, задачи на множества. Если Вы не знаете, что такое диаграммы Эйлера-Венна и как их строить, то сначала прочтите эту статью.

Теперь разберем типовые задачи о множествах.

Задача 1.

В школе с углубленным изучением иностранных языков провели опрос среди 100 учащихся. Ученикам задали вопрос: "Какие иностранные языки вы изучаете?". Выяснилось, что 48 учеников изучают английский, 26 - французский, 28 - немецкий. 8 школьников изучают английский и немецкий, 8 - английский и французский, 13 - французский и немецкий. 24 школьника не изучают ни английский, ни французский, ни немецкий.  Сколько школьников, прошедших опрос, изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий?

Ответ: 3.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

  • множество школьников, изучающих английский ("А");
  • множество школьников изучающих французский ("Ф");
  • множество школьников изучающих немецкий ("Н").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию.

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 1

Изобразим то, что нам надо найти:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 1,найти

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=1, Ф=1, Н=1 как "х" (в таблице ниже область №7). Выразим остальные области через х.

0) Область А=0, Ф=0, Н=0: 24 школьника - дано по условию задачи.

1) Область А=0, Ф=0, Н=1: 28-(8-х+х+13-х)=7+х школьников.

2) Область А=0, Ф=1, Н=0: 26-(8-х+х+13-х)=5+х школьников.

3) Область А=0, Ф=1, Н=1: 13-х школьников.

4) Область А=1, Ф=0, Н=0: 48-(8-х+х+8-х)=32+х школьников.

5) Область А=1, Ф=0, Н=1: 8-х школьников.

6) Область А=1, Ф=1, Н=0: 8-х школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№
области
А
Ф
Н
Количество
школьников
0
0
0
0
24
1
0
0
1
7+х
2
0
1
0
5+х
3
0
1
1
13-х
4
1
0
0
32+х
5
1
0
1
8-х
6
1
1
0
8-х
7
1
1
1
х

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 1, решение

Определим х:

24+7+(х+5)+х+(13-х)+(32+х)+(8-х)+(8-х)+х=100.

х=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.

Получили, что 3 школьника изучают одновременно три языка: английский, французский и немецкий.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 1, ответ


Задача 2.

На олимпиаде по математике школьникам предложили решить три задачи: одну по алгебре, одну по геометрии, одну по тригонометрии. В олимпиаде участвовало 1000 школьников. Результаты олимпиады были следующие: задачу по алгебре решили 800 участников, по геометрии - 700, по тригонометрии - 600.  600 школьников решили задачи по алгебре и геометрии, 500 - по алгебре и тригонометрии, 400 - по геометрии и тригонометрии. 300  человек решили задачи по алгебре, геометрии и тригонометрии. Сколько школьников не решило ни одной задачи?

Ответ: 100.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

  • множество задач по алгебре ("А");
  • множество задач по геометрии ("Г");
  • множество задач по тригонометрии ("Т").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 2

Изобразим то, что нам надо найти:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 2, найти

Определим количество школьников для всех возможных областей.

Обозначим искомую область А=0, Г=0, Т=0 как "х" (в таблице ниже область №0).

Найдем остальные области:

1) Область А=0, Г=0, Т=1: школьников нет.

2) Область А=0, Г=1, Т=0: школьников нет.

3) Область А=0, Г=1, Т=1: 100 школьников.

4) Область А=1, Г=0, Т=0: школьников нет.

5) Область А=1, Г=0, Т=1: 200 школьников.

6) Область А=1, Г=1, Т=0: 300 школьников.

7) Область А=1, Г=1, Т=1: 300 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№
области
А
Г
Т
Количество
школьников
0
0
0
0
х
1
0
0
1
0
2
0
1
0
0
3
0
1
1
100
4
1
0
0
0
5
1
0
1
200
6
1
1
0
300
7
1
1
1
300

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 2, решение

Определим х:

х=U-(A V Г V Т), где U-универсум.

U=1000.

A V Г V Т=0+0+0+300+300+200+100=900.

x=1000-900=100. 

Получили, что 100 школьников не решило ни одной задачи.


Задача 3.

На олимпиаде по физике школьникам предложили решить три задачи: одну по кинематике, одну по термодинамике, одну по оптике. Результаты олимпиады были следующие: задачу по кинематике решили 400 участников, по термодинамике - 350, по оптике - 300.  300 школьников решили задачи по кинематике и термодинамике, 200 - по кинематике и оптике, 150 - по термодинамике и оптике. 100  человек решили задачи по кинематике, термодинамике и оптике. Сколько школьников решило две задачи?

Ответ: 350.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

  • множество задач по кинематике ("К");
  • множество задач по термодинамике ("Т");
  • множество задач по оптике ("О").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 3

Изобразим то, что нам надо найти:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 3, найти

Определим количество школьников для всех возможных областей:

0) Область К=0, Т=0, О=0: не определено.

1) Область К=0,Т=0, О=1: 50 школьников.

2) Область К=0, Т=1, О=0: школьников нет.

3) Область К=0, Т=1, О=1: 50 школьников.

4) Область К=1, Т=0, О=0: школьников нет.

5) Область К=1, Т=0, О=1: 100 школьников.

6) Область К=1, Т=1, О=0: 200 школьников.

7) Область К=1, Т=1, О=1: 100 школьников.

Запишем значения областей в таблицу:

№
области
К
Т
О
Количество
школьников
0
0
0
0
-
1
0
0
1
50
2
0
1
0
0
3
0
1
1
50
4
1
0
0
0
5
1
0
1
100
6
1
1
0
200
7
1
1
1
100

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 3, решение

Определим х.

х=200+100+50=350.

Получили, 350 школьников решило две задачи.


Задача 4.

Среди прохожих провели опрос. Был задан вопрос: "Какое домашнее животное у Вас есть?". По результатам опроса выяснилось, что у 150 человек есть кошка, у 130 - собака, у 50 - птичка. У 60 человек есть кошка и собака, у 20 - кошка и птичка, у 30 - собака и птичка. У 70 человек вообще нет домашнего животного. У 10 человек есть и кошка, и собака, и птичка. Сколько прохожих приняли участие в опросе?

Ответ: 300.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

  • множество людей, у которых есть кошка ("К");
  • множество людей, у которых есть собака ("С");
  • множество людей, у которых есть птичка ("П").

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 4

Изобразим то, что нам надо найти:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 4, найти

Определим количество человек для всех возможных областей:

0) Область К=0, С=0, П=0: 70 человек.

1) Область К=0, С=0, П=1: 10 человек.

2) Область К=0, С=1, П=0: 50 человек.

3) Область К=0, С=1, П=1: 20 человек.

4) Область К=1, С=0, П=0: 80 человек.

5) Область К=1, Т=0, О=1: 10 человек.

6) Область К=1, Т=1, О=0: 50 человек.

7) Область К=1, Т=1, О=1: 10 человек.

Запишем значения областей в таблицу:

№
области
К
C
П
Количество
человек
0
0
0
0
70
1
0
0
1
10
2
0
1
0
50
3
0
1
1
20
4
1
0
0
80
5
1
0
1
10
6
1
1
0
50
7
1
1
1
10

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 4, решение

Определим х:

х=U (универсум)

U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.

Получили, что 300 человек приняли участие в опросе.


Задача 5.

На одну специальность в одном из ВУЗов поступало 120 человек. Абитуриенты сдавали три экзамена: по математике, по информатике и русскому языку. Математику сдали 60 человек, информатику - 40. 30 абитуриентов сдали математику и информатику, 30 - математику и русский язык, 25 - информатику и русский язык. 20 человек сдали все три экзамена, а 50 человек - провалили. Сколько абитуриентов сдали русский язык?

Ответ: 35.

Решение:

Сначала определим множества и введем обозначения. Их три:

  • множество абитуриентов, сдавших математику ("М");
  • множество абитуриентов, сдавших информатику ("И");
  • множество абитуриентов, сдавших русский язык ("Р");

Изобразим с помощью диаграммы Эйлера-Венна то, что нам дано по условию:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 5

Изобразим то, что нам надо найти:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 5, найти

Определим количество абитуриентов для всех возможных областей.

Обозначим искомую область как "х".

0) Область М=0, И=0, Р=0: 50 абитуриентов.

1) Область М=0, И=0, Р=1: х-35 абитуриентов.

2) Область М=0, И=1, Р=0: 5 абитуриентов.

3) Область М=0, И=1, Р=1: 20 абитуриентов.

4) Область М=1, И=0, Р=0: 80 абитуриентов.

5) Область М=1, И=0, Р=1: 10 абитуриентов.

6) Область М=1, И=1, Р=0: 50 абитуриентов.

7) Область М=1, И=1, Р=1: 10 абитуриентов.

Запишем значения областей в таблицу:

№
области
М
И
Р
Количество
абитуриентов
0
0
0
0
50
1
0
0
1
х-35
2
0
1
0
5
3
0
1
1
5
4
1
0
0
20
5
1
0
1
10
6
1
1
0
10
7
1
1
1
20

Изобразим значения для всех областей с помощью диаграммы:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 5, решение

Определим х:

х=120-50-(20+10+5)=35.

Получили, что 35 абитуриентов сдали русский язык.

Так будет выглядеть диаграмма Эйлера-Венна при известном х:

Решение задач с помощью диаграмм Эйлера-Венна, задача 5, ответ

Перейти к разбору задач на множества из демо ЕГЭ (определение количества страниц по запросу поискового сервера):

  • В12-2012
  • В9-2011
  • В10-2010
  • В10-2009

Перейти к другим задачам демо ЕГЭ.

 

Rambler's Top100

© Латыпова В.А., 2012-2020. Все права защищены.
Копирование материалов сайта только с разрешения администрации сайта