Разбор задачи C1 (демо ЕГЭ 2012)
Требовалось написать программу, при выполнении которой с клавиатуры считываются координаты точки на плоскости (x, y – действительные числа) и определяется принадлежность этой точки заданной закрашенной области (включая границы). Программист торопился и написал программу неправильно.
| Бейсик | Паскаль |
|---|---|
| INPUT x, y IF y>=x THEN IF y>=0 THEN IF y<=2-x*x THEN PRINT "принадлежит" ELSE PRINT "не принадлежит" END IF END IF END IF END | var x,y: real; begin readln(x,y); if y>=x then if y>=0 then if y<=2-x*x then write('принадлежит') else write('не принадлежит') end. |
| Си | Алгоритмический язык |
| void main(void){ float x,y; scanf("%f %f",&x,&y); if (y>=x) if (y>=0) if (y<=2-x*x) printf("принадлежит"); else printf("не принадлежит"); } | алг нач вещ x,y ввод x,y если y>=x то если y>=0 то если y<=2-x*x то вывод 'принадлежит' иначе вывод 'не принадлежит' все все все кон |
Последовательно выполните следующее. 1. Перерисуйте и заполните таблицу, которая показывает, как работает программа при аргументах, принадлежащих различным областям (A, B, C, D, E, F и G). Точки, лежащие на границах областей, отдельно не рассматривать.
| Область | Условие 1 (y>=x) |
Условие 2 (y>=0) |
Условие 3 (y<=2–x*x) |
Программа выведет |
Область обрабатывается верно |
|---|---|---|---|---|---|
| A | |||||
| B | |||||
| C | |||||
| D | |||||
| E | |||||
| F | |||||
| G |
В столбцах условий укажите "да", если условие выполнится, "нет" если условие не выполнится, "—" (прочерк), если условие не будет проверяться, «не изв.», если программа ведет себя по-разному для разных значений, принадлежащих данной области. В столбце "Программа выведет" укажите, что программа выведет на экран. Если программа ничего не выводит, напишите "—" (прочерк). Если для разных значений, принадлежащих области, будут выведены разные тексты, напишите «не изв». В последнем столбце укажите "да" или "нет".
2. Укажите, как нужно доработать программу, чтобы не было случаев ее неправильной работы. (Это можно сделать несколькими способами, достаточно указать любой способ доработки исходной программы.)
1 часть:
Рассмотрим подробно каждую область:
Область А: (y≥x)Λ(y≥0)Λ(y>2–x*x):
Область В: (y≥x)Λ(y<0)Λ(y>2–x*x):
Область С: (y<x)Λ(y<0)Λ(y>2–x*x):
Область D: (y<x)Λ(y<0)Λ(y≤2–x*x):
Область E: (y≥x)Λ(y≥0)Λ(y≤2–x*x):
Область F: (y≥x)Λ(y<0)Λ(y≤2–x*x):
Область G: (y<x)Λ(y≥0)Λ(y≤2–x*x):
Программа работает корректно только для двух областей: E (программа выводит:"принадлежит") и A (программа выводит:"не принадлежит"):
Выразим условия 1, 2 и 3 через Y1, Y2, Y3:
Y1=(y>=x)
Y2=(y>=0)
Y3=(y<=2–x*x)
Область, где программа работает верно: E V A=Y1ΛY2ΛY3 V Y1ΛY2Λ¬Y3=Y1ΛY2Λ(Y3V¬Y3)=Y1ΛY2=(y>=x)Λ(y>=0).
Область, где программа работает неверно: ¬(Y1ΛY2)=¬Y1V¬Y2=(y<x)V(y<0).
Чтобы программа корректно сработала и вывела текст, необходимо, чтобы два первых условия: y≥x, y≥0 выполнялись. Вывод текста привязан только к последнему третьему условию:y≤2–x*x. Если оно выполняется, то программа выведет: "принадлежит", если не выполняется, то "не принадлежит".
Если первое условие: y≥x не выполняется, то программа не будет проверять остальные условия: y≥0, y≤2–x*x. Если y≥x выполняется, но не выполняется второе условие:y≥0, то не будет проверяться третье условие:y≤2–x*x. В таких случаях в таблице ставим "-".
Заполним таблицу:
| Область | Условие 1 (y>=x) |
Условие 2 (y>=0) |
Условие 3 (y<=2–x*x) |
Программа выведет |
Область обрабатывается верно |
|---|---|---|---|---|---|
| A | да |
да |
нет |
не принадлежит |
да |
| B | да |
нет |
- |
- |
нет |
| C | нет |
- |
- | - |
нет |
| D | нет |
- |
- |
- |
нет |
| E | да |
да |
да |
принадлежит |
да |
| F | да |
нет |
- |
- |
нет |
| G | нет |
- |
- |
- |
нет |
2 часть:
вариант1:
Искомую закрашенную область делим на две фигуры вдось Оy:
Фигура Ф1 ограничена неравенствами:
y≤2-x*x,
y≥x,
x<0.
Фигура Ф2 ограничена неравенствами:
y≤2-x*x,
y≥0,
x≥0
На языке алгебры логики искомая область определяется так:
Ф1VФ2
(y≤2-x*x)Λ(y≥x)Λ(x<0)V(y≤2-x*x)Λ(y≥0)Λ(x≥0)
Доработка для корректной работы программы на языках программирования:
| Бейсик | Паскаль |
|---|---|
| IF y<=2-x*x AND y>=x AND x<0 OR y<=2-x*x AND y>=0 AND x>=0 THEN PRINT "принадлежит" ELSE PRINT "не принадлежит" |
if (y<=2-x*x) and (y>=x) and (x<0) or (y<=2-x*x) and (y>=0) and (x>=0) then write('принадлежит') else write('не принадлежит') |
| Си | Алгоритмический язык |
| if ((y<=2-x*x)&&(y>=x)&&(x<0) ||(y<=2-x*x)&&(y>=0)&&(x>=0)) printf("принадлежит"); else printf("не принадлежит"); |
если y<=2-x*x и y>=x и x<0 или y<=2-x*x и y>=0 и x>=0 то вывод 'принадлежит' иначе вывод 'не принадлежит' |
вариант2:
Закрашенную область делим на две фигуры вдось Оx:
Фигура Ф1 ограничена неравенствами:
y≤2-x*x,
y≥0.
Фигура Ф2 ограничена неравенствами:
y≤2-x*x,
y<0,
y≥x.
На языке алгебры логики искомая область определяется так:
Ф1VФ2
(y≤2-x*x)Λ(y≥0)V(y≤2-x*x)Λ(y<0)Λ(y≥x).
Доработка для корректной работы программы на языках программирования:
| Бейсик | Паскаль |
|---|---|
| IF y<=2-x*x AND y>=0 OR y<=2-x*x AND y<0 AND y>=x THEN PRINT "принадлежит" ELSE PRINT "не принадлежит" |
if (y<=2-x*x) and (y>=0) or (y<=2-x*x) and (y<0) and (y>=x) then write('принадлежит') else write('не принадлежит') |
| Си | Алгоритмический язык |
| if ((y<=2-x*x)&&(y>=0)|| (y<=2-x*x)&&(y<0)&&(y>=x)) printf("принадлежит"); else printf("не принадлежит"); |
если y<=2-x*x и y>=0 или y<=2-x*x и y<0 и y>=x то вывод 'принадлежит' иначе вывод 'не принадлежит' |