Разбор задачи B4 (демо ЕГЭ 2009)
Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание
(50<X·X) → (50>(X+1) ·(X+1))?
Высказывание истинно,значит, F=1
Заменим выражения:
50<X·X=A
50>(X+1) ·(X+1)=B
Рассмотрим таблицу истинности импликации:
А | В | A→B |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
Есть 3 возможных варианта, когда импликация равна 1, т.е. A→B=1.
Решим методом от противного. Найдем такое Х, когда F=0, т.е. высказывание ложно. Поэтому должны удовлетворяться условия: А=1,В=0.
Переходим обратно к неравенствам:
50<X·X=1
50>(X+1) ·(X+1)=0
Поэтому 50<Х2 и 50≤(X+1)2
Перепишем неравенства:1)Х2>50 и 2)Х2+2Х-49≥0.
Решим эту систему неравенств. Решим каждое неравенство отдельно
1)Х2>50
Х=±√50≈±7,05
X принадлежит (-∞;-√50)U(√50;+∞)
2)Х2+2Х-49≥0
D/4=1+49=50
Х=-1±√50;
X1=-1-√50≈-8,05
X2=-1+√50≈6,05
X принадлежит (-∞;-1-√50]U[-1+√50;+∞)
Решение системы неравенств имеет вид:
Мы нашли решения Х для F=0. Теперь найдем Х для F=1:
X принадлежит (-1-√50;√50]
Получили, наибольшее целое Х=7.