Разбор задачи B10 (демо ЕГЭ 2011)
Сколько различных решений имеет уравнение
((J → K) → (M /\ N /\ L)) /\ ((J /\ ¬K) → ¬(M /\ N /\ L)) /\ (M → J) = 1,
где J, K, L, M, N – логические переменные?
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
((J → K) → (M Λ N Λ L)) Λ ((J Λ ¬K) → ¬(M Λ N Λ L)) Λ (M → J) = 1
Преобразуем выражение ((J → K) → (M Λ N Λ L)) Λ ((J Λ ¬K) → ¬(M Λ N Λ L)) Λ (M → J):
Сначала преобразуем: (J Λ ¬K) → ¬(M Λ N Λ L).
(J Λ ¬K) → ¬(M Λ N Λ L)=¬(¬JVK)→ ¬(M Λ N Λ L)-вынесли отрицание за скобки
¬(¬JVK)→ ¬(M Λ N Λ L)=¬(J→K)→ ¬(M Λ N Λ L)-воспользовались формулой перевода импликации.
Подставим это в выражение( (J → K) → (M Λ N Λ L)) Λ ((J Λ ¬K) → ¬(M Λ N Λ L)), получим:
( (J → K) → (M Λ N Λ L)) Λ (¬(J→K)→ ¬(M Λ N Λ L)).
Проведем замену:
(J → K)=P
(M Λ N Λ L)=Q
Получим при замене:
(P→Q) Λ (¬P→¬Q)
Изобразим это логическое выражение с помощью диаграмм Эйлера-Венна:
Из рисунка видно,что это логическая операция эквиваленция:P↔Q.
Проведем обратную замену:
P↔Q=(J → K)↔(M Λ N Λ L).
Выпишем уравнение с учетом преобразований:
((J → K)↔(M Λ N Λ L)) Λ (M → J) = 1.
Уравнение равно 1,когда (J → K)↔(M Λ N Λ L)=1 и (M → J)=1-логическое умножение дает 1,когда оба логических операнда равны 1.
(J → K)↔(M Λ N Λ L) дает 2 решения:
(J → K)=1,(M Λ N Λ L)=1 или (J → K)=0,(M Λ N Λ L)=0-логическая эквиваленция дает 1,когда оба операнда одинаковы(оба равны 0 или 1)
Получаем 2 системы уравнений:
1-ая система: (J → K)=1,(M Λ N Λ L)=1,(M → J)=1.
2-ая система: (J → K)=0,(M Λ N Λ L)=0,(M → J)=1.
M → J=1 выполняется в 3-х случаях: M=0,J=0 или M=0,J=1, или M=1,J=1.
Решаем 1-ую систему уравнений.
M=0,J=0
0 → K=1. Выполняется при любом K.
0 Λ N Λ L=1-при любом N,M не выполняется. Поэтому решений с M=0,J=0 нет. Также нет решений и при M=0,J=1 по той же причине,что и выше.
M=1,J=1
1→ K=1-выполняется при K=1.
1 Λ N Λ L=1 выполняется при N=1 и L=1.
Поэтому получаем одно решение: M=1,J=1,K=1,N=1 и L=1.
Решаем 2-ую систему уравнений.
M=0,J=0
0 → K=0 - при K не выполняется. Поэтому решений с M=0,J=0 нет.
M=0,J=1
1 → K=0. Выполняется при K=0.
0 Λ N Λ L=0-выполняется при любых N,L. Поэтому получаем четыре решения(22=4)
M=1,J=1
1 → K=0. Выполняется при K=0.
1 Λ N Λ L=0-не выполняется только при N=1,L=1. В трех остальных случаях выполняется. Поэтому получаем три решения.
Подсчитываем,сколько всего решений получается:1+4+3=8 решений.